DorFuchs – Stirling-Formel

DorFuchs – Stirling-Formel Lyrics

Artist: DorFuchs
Song: Stirling-Formel

〈Refrain〉
Wurzel zwei Pi n mal n durch e hoch n
Das ist die Stirling-Formel
Wurzel zwei Pi n mal n durch e hoch n

Ist in etwa n-Fakultät
Wurzel zwei Pi n mal n durch e hoch n
Das ist die Stirling-Formel
Wurzel zwei Pi n mal n durch e hoch n

Ist in etwa n-Fakultät
{Strophe 1〉
Und das ist sogar asymptotisch äquivalent
Das heißt der Quotient ist gegen eins konvergent

Also wird der relative Fehler immer kleiner
Und die Approximation für große Werte immer feinеr
Mensch, das ist gut, denn wir können damit jеtzt
Auf die Frage, wie schnell eigentlich die Fakultät wächst

In diesem sinne die genaue Antwort geben
Und sie lautet eben
〈Refrain〉
Wurzel zwei Pi n mal n durch e hoch n

Das ist die Stirling-Formel
Wurzel zwei Pi n mal n durch e hoch n
Ist in etwa n-Fakultät
Wurzel zwei Pi n mal n durch e hoch n

Das ist die Stirling-Formel
Wurzel zwei Pi n mal n durch e hoch n
Ist in etwa n-Fakultät
〈Strophe 2〉

Wusstest du, dass n-Fakultät
Durch x hoch n mal e hoch minus x entsteht
Wenn man das von null bis unendlich integriert?
Das induktiv zu zeigen ist nicht wirklich kompliziert

Somit sind die Fakultäten bildlich geseh’n
Die Flächen, die unter diesem Graphen entsteh’n
Und die wachsen hier natürlich immer weiter
Denn sie werden immer höher und auch noch immer breiter

Und macht man jetzt ein bisschen Kurvendiskussion
Dann findet man das Maximum von dieser Funktion
Bei x gleich n und damit siehst du jetzt
Wie schnell die Funktion in die Höhe wächst

Denn der größte Funktionswert ist immer n durch e hoch n
Das können wir auch vertikalen Wachstums-Term nennen
Wir zieh’n dem jetzt erstmal aus dem Integral heraus
Und gleichen das dann durch ‘ne Division aus

Wir haben uns’re Integranden also jetzt
So gebaut, dass es nicht mehr nach oben wächst
Doch das Maximum ist immer noch an der Stelle n
Und dadurch driftet es nach rechts, kann man ja gut erkenn’

Doch schiebt man das jeweils um n nach links, dann
Bleibt das Integral gleich, aber jetzt sieht man
Der Hochpunkt ist genau bei 01 fixiert
Und mit wachsendem n wird es breit geschmiert

Such’ ich jetzt die Wendepunkte, dann erkenn’
Ich, die liegen bei plus-minus Wurzel n. Ich
Könnte das jetzt um den Faktor Wurzel n stauchen
Den wir als Ausgleich dafür vor dem Integral brauchen

Da wir hier insgesamt nur linear substituiert haben
Bleibt es bei den gleichen Formen, nur mit and’ren Koordinaten
Lass’ ich anlaufen, seh’ ich im Grenzwert die
Gaußsche-Glockenkurve mit Integral Wurzel 2 Pi

〈Refrain〉
Wurzel zwei Pi n mal n durch e hoch n
Das ist die Stirling-Formel
Wurzel zwei Pi n mal n durch e hoch n

Ist in etwa n-Fakultät
Wurzel zwei Pi n mal n durch e hoch n
Das ist die Stirling-Formel
Wurzel zwei Pi n mal n durch e hoch n

Ist in etwa n-Fakultät
〈Strophe 3〉
Das vertikale Wachstum auf eins runter gebracht
Den Drift nach Links wieder nach Rechts korrigiert

Und dann geseh’n, dass Wachstum in der Breite passiert
Daher die Wendestellen bei plus-minus eins fixiert
Schau’n wir uns den Integranden an
Dann fassen wir das zusammen und dann kann man

Das alles als e hoch eine Funktion begreifen
Die wir im Folgenden als f-n von x bezeichnen
Schau’n wir uns mal, deren Ableitungen an
Und setzten für die Stelle x null ein, dann

Wenn man das jetzt auf den Satz von Taylor loslässt
Die Funktion ist ja das Taylor-Polynom plus der Rest
Wo bei uns konkret jetzt eben das hier steht
Wobei der Restterm für große n gegen null geht, denn

Ist n größer als 4x Quadrat wird es spannend, denn
Dann ist der Betrag von Xi höchstens ein halb Wurzel n
Also mehr als das wird hier im Nenner nicht subtrahiert
Und jetzt sieht man, dass es gegen null konvergiert

Wird n groß genug, dann ist f-n hier definiert
Und der Grenzwert ist minus ein halb x Quadrat
Der punktweise Grenzwert von uns’rem Integrant
Ist exakt due Gaußsche-Glockenkurve, int’ressant!

Doch nur, weil das an jeder Stelle x konvergiert
Heißt das noch nicht, dass das genauso mit dem Integral passiert
Dafür nutzen wir jetzt dominierte Konvergenz
Ich brauch’ eine Funktion mit der ich alles begrenz’

Und deren Integral muss dann endlich sein
Beim betrachten der Graphen hat es den Schein
Dass rechts hier der Fall n gleich eins dominiert
Und vielleicht ist es ja so, dass das gespiegelt funktioniert?

Es ist tatsächlich so, dass diese Ungleichung stimmt
Das kann man beweisen, indem man diese Hilfsfunktion nimmt
Und für negative und positive Werte getrennt
Über die Ableitung die Monotonie erkennt

Da es erst steigt und dann fällt, haben wir nämlich hier
Das Maximum bei null und h ist so definiert
Dass wenn man jetzt umstellt und e hoch das ganze nimmt
Dadurch jetzt gezeigt wird, dass es stimmt

Also beim Grenzwert des Quotienten aus n-Fakultät
Und der Stirling-Formel, wenn n gegen unendlich geht
Benutzen wir hier unser Integral und jetzt
Kann man einiges hier kürzen. Fetzt!

Jetzt können wir nicht nur den punktweisen Grenzwert sagen
Nein, wir wissen auch, dass wir eine Majorante haben
Was uns jetzt dominierte Konvergenz lehrt
Ist: Auch mit dem Integral gilt hier der Grenzwert

Das zu integrieren ist ‘ne Story für sich
Aber ganz unbekannt ist diese Funktion hier sicher nicht
Das Integral ist eins, also ham’ wir ganz entspannt
Bewiesen, die beiden sind asymptotisch äquivalent

〈Refrain〉
Wurzel zwei Pi n mal n durch e hoch n
Das ist die Stirling-Formel
Wurzel zwei Pi n mal n durch e hoch n

Ist in etwa n-Fakultät
Wurzel zwei Pi n mal n durch e hoch n
Das ist die Stirling-Formel
Wurzel zwei Pi n mal n durch e hoch n

Ist asymptotisch äquivalent
Zur Fakultät
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Stirling-Formel Lyrics – English Translation

Root two pi n times through e high n
This is the Stirling formula
Root two pi n times through e high n

Is roughly n-faculty
Root two pi n times through e high n
This is the Stirling formula
Root two pi n times through e high n

Is roughly n-faculty
{Stanza 1〉
And that is even asymptotically equivalent
That means the quotient is convergent around one

So the relative error is getting smaller and smaller
And the approximation for large values ​​always fine
Man, that’s good, because we can do it with it
When asked how quickly the faculty is growing

Give the exact answer in this sense
And it is just

Root two pi n times through e high n

This is the Stirling formula
Root two pi n times through e high n
Is roughly n-faculty
Root two pi n times through e high n

This is the Stirling formula
Root two pi n times through e high n
Is roughly n-faculty
〈Stanza 2〉

Did you know that N faculty
Through x high n times a high minus x is created
If you integrate it from zero to infinitely?
Showing that inductively is not really complicated

Thus the faculties have been visible
The areas that arise under this graph
And of course they keep growing here
Because they are getting higher and still wider

And now you do a little curve discussion
Then you will find the maximum of this function
At x equal to n and with that you see now
How quickly the function grows up

Because the biggest functional value is always a high through
We can also call this vertical growth term
We are now pulling it out of the integral
And then equalize that through a division

So we have our integrands now
So built that it no longer grows up
But the maximum is still at the point n
And this drifts it to the right, you can recognize well ‘

But you push that around n to the left, then then
If the integral stays the same, but now you can see
The high point is precisely fixed at 01
And with growing N it is lubricated

I’m looking for the turning points now, then recognize ‘
Me, they are at plus-minus root.
Could this now be added by the root of the root.
Which we need as compensation for this before the integral

Since we have only substituted linearly here
It remains with the same forms, only with And’ren coordinates
I let me go, I see the limit in the limit
Gaußsche-glocken curve with integral root 2 pi

Root two pi n times through e high n
This is the Stirling formula
Root two pi n times through e high n

Is roughly n-faculty
Root two pi n times through e high n
This is the Stirling formula
Root two pi n times through e high n

Is roughly n-faculty
〈Stanza 3〉
The vertical growth brought down to one
Corrected the drift to the right back to the right

And then saw that growth in the width happens
Hence the turning points fixed at plus-minus one
Let’s look at the integrated
Then we summarize that and then you can

All of this as a high function understand a function
Which we describe in the following as F-N of X
Let’s take a look at their derivations
And set in for the place x zero, then

If you now let go of Taylor’s sentence
The function is the taylor polynomial plus the rest
Where specifically now this is here
The rest of the end for large n for zero, because

If it is larger than 4x square, it will be exciting because
Then the amount of XI is at most a half root n
So more than that is not subtracted here in the denominator
And now you can see that it converges against zero

If n get big enough, then F-N is defined here
And the limit is minus a half x square
The point of limit value of our integrant
Is exactly due Gaußsche-glocken curve, int’ressing!

But only because that converges at every point X
Doesn’t that mean that this happens with the integral
For this we are now using dominated convergence
I need a function with which I limit everything ‘

And their integral must finally be
When looking at the graphs, it has the appearance
That on the right the case n dominates one equal
And maybe it is the case that it works mirrored?

It is actually the case that this inequality is right
You can prove this by taking this auxiliary function
And separated for negative and positive values
The monotony recognizes through the derivation

Since it only increases and then falls, we have here
The maximum at zero and h is defined in this way
That if you change now and take the whole thing up
As a result, it is shown that it is true

So in the limit of the quotient from N faculty
And the Stirling formula when n goes against infinite
We use our integral here and now
You can shorten a lot here. Tattled!

Now we can not only say the point -by -way limit value
No, we also know that we have a majorant
What teaches us now dominated convergence
Is: also applies with the integral
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DorFuchs Lyrics – Stirling-Formel

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Release Year: 2021